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📋 Chapter Review 3

方程与不等式核心总结 - 系统回顾Chapter 3中联立方程、不等式及其图像的核心概念

章节总结：联立方程与不等式核心要点

本章节围绕联立方程与不等式展开，核心内容可总结为以下几方面：

一、联立方程（Simultaneous Equations）

1. 线性联立方程

可通过消元法（elimination）或代入法（substitution）求解。

2. 线性与二次联立方程

最多有两组解，需注意解的配对正确性；

解的几何意义：对应两个函数图像的交点；

解的个数判断（转化为二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)后）：

  • \( b^2 - 4ac > 0 \)：两组不同实解；
  • \( b^2 - 4ac = 0 \)：一组实解（两图像相切）；
  • \( b^2 - 4ac < 0 \)：无实解（两图像无交点）。

二、不等式（Inequalities）

1. 不等式的解

使不等式成立的所有实数\( x \)的集合。

2. 二次不等式的解法

📝 二次不等式解法四步流程
  1. 移项使右边为0：将不等式整理为 \( ax^2 + bx + c \, \Box \, 0 \) 的标准形式。
  2. 解对应二次方程：求解 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，得到临界值。
  3. 分析抛物线开口方向：由二次项系数 \( a \) 的符号判断：\( a > 0 \) 时抛物线开口向上，\( a < 0 \) 时开口向下。
  4. 结合图像确定解集：根据"开口方向"和"临界值"，判断抛物线在x轴上方（\( y > 0 \)）或下方（\( y < 0 \)）的x取值范围，即为不等式的解集。

3. 图像上的不等式

  • 若曲线\( y = f(x) \)在曲线\( y = g(x) \)**下方**，则\( x \)满足\( f(x) < g(x) \)；
  • 若曲线\( y = f(x) \)在曲线\( y = g(x) \)**上方**，则\( x \)满足\( f(x) > g(x) \)。

4. 坐标平面区域表示

  • \( y < f(x) \)：坐标平面中曲线\( y = f(x) \)**下方**的区域；
  • \( y > f(x) \)：坐标平面中曲线\( y = f(x) \)**上方**的区域；
  • 边界线虚实规则：
    • 若不等式为\( y > f(x) \)或\( y < f(x) \)，曲线\( y = f(x) \)**不包含**在区域内，用**虚线**表示；
    • 若不等式为\( y \geq f(x) \)或\( y \leq f(x) \)，曲线\( y = f(x) \)**包含**在区域内，用**实线**表示。

总结

这些内容贯穿了联立方程的求解、不等式的基本属性，以及函数图像的核心特征，是分析代数关系的关键工具。掌握这些概念不仅有助于解决实际问题，还为高等数学的学习奠定了坚实的基础。

核心要点：
  • 联立方程的两种主要解法：消元法和代入法
  • 二次联立方程的几何意义：直线与二次曲线的交点
  • 二次不等式的四步解法流程
  • 图像与不等式的对应关系
  • 坐标平面区域的表示方法